已知函數(shù)() =,g ()=+。
(1)求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù),并說明理由;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,,證明:存在常數(shù)M,使得對于任意的,都有≤ .
(1)兩個零點,理由見解析     (2)見解析
(1)由知,,而,且,則的一個零點,且內(nèi)有零點,因此至少有兩個零點
解法1:,記,則。
當(dāng)時,,因此上單調(diào)遞增,則內(nèi)至多只有一個零點。又因為,則內(nèi)有零點,所以內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為,則當(dāng)時,;當(dāng)時,
所以,
當(dāng)時,單調(diào)遞減,而,則內(nèi)無零點;
當(dāng)時,單調(diào)遞增,則內(nèi)至多只有一個零點;
從而內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述,有且只有兩個零點。
解法2:,記,則。
當(dāng)時,,因此上單調(diào)遞增,則內(nèi)至多只有一個零點。因此內(nèi)也至多只有一個零點,
綜上所述,有且只有兩個零點。
(2)記的正零點為,即
(1)當(dāng)時,由,即.而,因此,由此猜測:。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時,顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)時,有成立,則當(dāng)時,由
知,,因此,當(dāng)時,成立。
故對任意的,成立。
(2)當(dāng)時,由(1)知,上單調(diào)遞增。則,即。從而,即,由此猜測:。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時,顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)時,有成立,則當(dāng)時,由
知,,因此,當(dāng)時,成立。
故對任意的,成立。
綜上所述,存在常數(shù),使得對于任意的,都有.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(12分)(2011•重慶)設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=﹣對稱,且f′(1)=0
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.

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已知函數(shù),其中.
(1)是否存在實數(shù),使得函數(shù)上單調(diào)遞增?若存在,求出的值或取值范圍;否則,請說明理由.
(2)若a<0,且函數(shù)y=f(x)的極小值為,求函數(shù)的極大值。

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觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于 (  )
A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

(2013•浙江)已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=(ex﹣1)(x﹣1)k(k=1,2),則( 。
A.當(dāng)k=1時,f(x)在x=1處取得極小值
B.當(dāng)k=1時,f(x)在x=1處取得極大值
C.當(dāng)k=2時,f(x)在x=1處取得極小值
D.當(dāng)k=2時,f(x)在x=1處取得極大值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)試求函數(shù)的遞減區(qū)間;
(2)試求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果f(x)為偶函數(shù),且f(x)導(dǎo)數(shù)存在,則f′(0)的值為( 。
A.2B.1C.0D.﹣1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)處有極值,則的值為(   ).
A.B.C.D.

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