（12分）（2011•重慶）設f（x）=2x3+ax2+bx+1的導數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關于直線x=﹣對稱，且f′（1）=0
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．
（Ⅰ）a=3   b=﹣12（Ⅱ）f（1）=﹣6

試題分析：（Ⅰ）先對f（x）求導，f（x）的導數(shù)為二次函數(shù)，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）對f（x）求導，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而確定極值．
解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b
從而f′（x）=6y=f′（x）關于直線x=﹣對稱，
從而由條件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1
f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2
當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函數(shù)；
當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
從而f（x）在x=﹣2處取到極大值f（﹣2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=﹣6．
點評：本題考查函數(shù)的對稱性、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)曲線y=f(x)通過點（0，2a+3），且在點
（－1，f（－1））處的切線垂直于y軸.
（1）用a分別表示b和c；
（2）當bc取得最小值時，求函數(shù)g(x)= 的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，當時，在區(qū)間內(nèi)存在極值，求整數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)() =，g ()=+。
（1）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由；
（2）設數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有≤ .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在  上的最小值;
(3)對一切的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在處取極值．
（1）求的值；
（2）求在上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù) 
(1)求在點處的切線方程；
(2)證明：曲線與曲線有唯一公共點；
(3)設，比較與的大小, 并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設函數(shù)在R上存在導數(shù)，對任意的R，有，且(0，+)時，．若，則實數(shù)a的取值范圍為(   )
A．[1，+∞)B．(-∞，1]C．(-∞，2]D．[2，+∞)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù),.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

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