Question

【題目】已知函數(shù)，

(1)若的一個(gè)極值點(diǎn)到直線的距離為1，求的值；

(2)求方程的根的個(gè)數(shù)

Answer 1

【答案】（1）a＝－2或a＝－8.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) ，令，可得函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果；（2） 根的個(gè)數(shù)等價(jià)于的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

試題解析：(1)由f′(x)＝＝0，得x＝0，

故f(x)僅有一個(gè)極小值點(diǎn)M(0,0)，

根據(jù)題意得：

d＝＝1.

∴a＝－2或a＝－8.

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x2＋1)－－a，

h′(x)＝＋＝2x.

當(dāng)x∈(0,1)∪(1，＋∞)時(shí)，h′(x)≥0，

當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(－1,0)時(shí)，h′(x)＜0.

因此，h(x)在(－∞，－1)，(－1,0)上時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，

在(0,1)，(1，＋∞)上時(shí)，h(x)單調(diào)遞增.

又h(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，h(x)的極小值為h(0)＝1－a.

當(dāng)x→－1－時(shí)，h(x)→－∞，當(dāng)x→－1＋時(shí)，h(x)→＋∞，

當(dāng)x→－∞時(shí)，h(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞.

由根的存在性定理知，方程在(－∞，－1)和(1，＋∞)一定有根

故f(x)＝g(x)的根的情況為：

當(dāng)1－a＞0時(shí)，即a＜1時(shí)，原方程有2個(gè)根；

當(dāng)1－a＝0時(shí)，即a＝1時(shí)，原方程有3個(gè)根．

當(dāng)1－a<0時(shí)，即a>1時(shí)，原方程有4個(gè)根．