Question

【題目】某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個(gè)顧客開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)．
（1）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)的概率；
（2）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)”，則時(shí)間A對(duì)應(yīng)三種情形：

①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；

②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；

③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘．

所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22

（2）解：X所有可能的取值為：0，1，2．

X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過(guò)2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；

X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間超過(guò)1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；

X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；

所以X的分布列為

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

【解析】（1）設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)”，則時(shí)間A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘，由此可求概率；（2）確定X所有可能的取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．