設(shè)函數(shù)f(x)=x-xlnx,數(shù)列{an}滿足0<a1<1,an+1=f(an).求證:
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù);
(2)an<an+1<1.
(1)見解析(2)見解析
(1)f(x)=x-xlnx,f′(x)=-lnx,當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)=-lnx>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù).
(2)(用數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)n=1時,0<a1<1,a1lna1<0,a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1.
由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù),且f(1)=1,得f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù),a2=f(a1)=a1-a1lna1<f(1)=1,即a1<a2<1成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,ak<ak+1<1成立,
即0<a1≤ak≤ak+1<1,
那么當(dāng)n=k+1時,由f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù),得0<a1≤ak≤ak+1<1,
得f(ak)<f(ak+1)<f(1),而an+1=f(an),則ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),即ak+1<ak+2<1,也就是說當(dāng)n=k+1時,an<an+1<1也成立.
由①②可得對任意的正整數(shù)n,an<an+1<1恒成立.
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