Question

已知f(n)＝1＋n∈N^?)，g(n)＝2(－1)(n∈N^?)．
(1)當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)；
(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．(2)f(n)>g(n)(n∈N^*)，

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)>g(1)；當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)>g(2)；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N^*)，即1＋>2(－1)(n∈N^*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋>2(－1)．
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，
下面轉(zhuǎn)化為證明：.
只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，
需證：(2k＋3)²>4(k＋2)(k＋1)，即證：4k²＋12k＋9>4k²＋12k＋8，此式顯然成立．
所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．綜上可知：對n∈N^*，猜想都成立，
即1＋(n∈N^*)成立．