【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)令是函數(shù)圖象上任意兩點,且滿足求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,使成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1)當(dāng)時,;當(dāng)時,.(2)(3).
【解析】
試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)零點與定義區(qū)間位置關(guān)系分類討論函數(shù)單調(diào)性:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值(2)先轉(zhuǎn)化不等式不妨取,則,即恒成立,即在上單調(diào)遞增,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性:在恒成立.最后利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值,求參數(shù).(3)不等式有解問題與恒成立問題一樣,先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值,的最大值,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性:在上單調(diào)遞增,進(jìn)而確定函數(shù)最值
試題解析:解(1),令,則,
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,
的最小值為;
當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),
的最小值為.
綜上,當(dāng)時,;當(dāng)時,.
(2),對于任意的,不妨取,則,
則由可得,
變形得恒成立,
令,
則在上單調(diào)遞增,
故在恒成立,
在恒成立.
,當(dāng)且僅當(dāng)時取,
.
(3),
.
,,使得成立.
令,則,
令,則由 可得或(舍)
當(dāng)時,則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,則在上單調(diào)遞增.
在上恒成立.
在上單調(diào)遞增.
,即.
實數(shù)的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社會機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系,通過問卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表:
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認(rèn)為對手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?
(2)若已經(jīng)從40歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了5名,現(xiàn)從這5名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名,求這3名被調(diào)查者中恰有1名對手機(jī)游戲無興趣的概率.
附:
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A,B兩地,A地位于東西方向的直線MN上的陸地處,B地位于海上一個燈塔處,在A地用測角器測得,在A地正西方向4km的點C處,用測角器測得.擬定鋪設(shè)方案如下:在岸MN上選一點P,先沿線段AP在地下鋪設(shè),再沿線段PB在水下鋪設(shè).預(yù)算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km和4萬元/km,設(shè),,鋪設(shè)電纜的總費用為萬元.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)試問點P選在何處時,鋪設(shè)的總費用最少,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中無理數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)的極值點有三個,最小的記為,最大的記為,若的最大值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,點在曲線上,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(II)確定a的所有可能取值,使得在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且.
(I)求和的通項公式;
(II)設(shè)數(shù)列滿足,求;
(III)對任意正整數(shù),不等式成立,求正數(shù)的取值范圍.
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