Question

【題目】已知函數(shù)，其中無理數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的極值點(diǎn)有三個(gè)，最小的記為，最大的記為，若的最大值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于 有兩個(gè)不等的正實(shí)根，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后對(duì)和進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求得的取值范圍；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由有三個(gè)極值點(diǎn)，則有三個(gè)零點(diǎn)，1為一個(gè)零點(diǎn)，其他兩個(gè)則為的零點(diǎn)，結(jié)合（Ⅰ），可得的兩個(gè)零點(diǎn)即為的最小和最大極值點(diǎn)，，即，令，由題知，則，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得的最小值即的最小值.

詳解：（Ⅰ），

令，，

∵有兩個(gè)極值點(diǎn)

∴ 有兩個(gè)不等的正實(shí)根

∵

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意．

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又∵，當(dāng)→時(shí)，→

∴

∴

綜上，的取值范圍是．

（Ⅱ）．

∵有三個(gè)極值點(diǎn)

∴有三個(gè)零點(diǎn)，1為一個(gè)零點(diǎn)，其他兩個(gè)則為的零點(diǎn)，由（Ⅰ）知.

∵

∴的兩個(gè)零點(diǎn)即為的最小和最大極值點(diǎn)，，即.

∴

令，由題知.

∴，，

∴

令，，則，令，則．

∴在上單調(diào)遞增

∴

∴在上單調(diào)遞減

∴

故的最小值為．