已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx),其中常數(shù)ω>0
(1)令ω=1,判斷函數(shù)F(x)=f(x)+f(x+)的奇偶性,并說明理由;
(2)令ω=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,對任意a∈R,求y=g(x)在區(qū)間[a,a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值.

(1)F(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(2)21或20

解析試題分析:(1)f(x)=2sinx,
F(x)=f(x)+f(x+)=2sinx+2sin(x+)=2(sinx+cosx),
F()=2,F(xiàn)(﹣)=0,F(xiàn)(﹣)≠F(),F(xiàn)(﹣)≠﹣F(),
所以,F(xiàn)(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
(2)f(x)=2sin2x,
將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin2(x+)+1的圖象,所以g(x)=2sin2(x+)+1.
令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈z),
因?yàn)閇a,a+10π]恰含10個(gè)周期,所以,當(dāng)a是零點(diǎn)時(shí),在[a,a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)21,
當(dāng)a不是零點(diǎn)時(shí),a+kπ(k∈z)也都不是零點(diǎn),區(qū)間[a+kπ,a+(k+1)π]上恰有兩個(gè)零點(diǎn),故在[a,a+10π]上有20個(gè)零點(diǎn).
綜上,y=g(x)在[a,a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值為21或20.
考點(diǎn):函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;函數(shù)奇偶性的判斷;根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換、函數(shù)的奇偶性、根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷,考查數(shù)形結(jié)合思想,結(jié)合圖象分析是解決(2)問的關(guān)鍵

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