Question

設(shè)正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且滿足S_n=

1

2

a

2 n

+

n

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）計算a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通項公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)T_n是數(shù)列{

1

a 2 n

}的前n項和，證明：T_n＜

4n

2n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用遞推導(dǎo)思想求出a₁=1，a₂=2，a₃=3．由此猜想a_n=n，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
（Ⅱ）證法一：由

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法和放縮法進行證明．
證法二：利用用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)n=1時，a1=S1=

1

2

a

2 1

+

1

2

，解得a₁=1，
a1+a2=S2=

1

2

a

2 2

+1，解得a₂=2，
a1+a2+a3=S3=

1

2

a

2 3

+

3

2

，解得a₃=3．
猜想a_n=n….3分，
證明：（�。┊�(dāng)n=1時，顯然成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k=k….4分，
則當(dāng)n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

a

2 k+1

+

k+1

2

-(

1

2

a

2 k

+

k

2

)=

1

2

a

2 k+1

+

k+1

2

-(

1

2

k2+

k

2

)，
結(jié)合a_n＞0，解得a_k+1=k+1…..6分，
于是對于一切的自然數(shù)n∈N^*，都有a_n=n…7分．
（Ⅱ）證法一：∵

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…10分
∴Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=2(1-

1

2n+1

)=

4n

2n+1

．…14分
證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時，T1=

1

12

=1，

4×1

2×1+1

=

4

3

，1＜

4

3

….8分
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，Tk＜

4k

2k+1

…9分
則當(dāng)n=k+1時，Tk+1=Tk+

1

(k+1)2

＜

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

要證：Tk+1＜

4(k+1)

2(k+1)+1

只需證：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

由于

4(k+1)

2(k+1)+1

-

4k

2k+1

=

4

(2k+3)(2k+1)

=

4

(2k+2)2-1

＞

1

(k+1)2

所以

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

…13分
于是對于一切的自然數(shù)n∈N^*，都有Tn＜

4n

2n+1

….14分

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．