Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

n

an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)解析式中求得a，然后可得數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式，進(jìn)而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2．…2分
所以Sn=f(n)-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=21-1=1；…3分
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1
經(jīng)驗(yàn)證可知n=1時(shí)，也適合上式，
∴an=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，

Tn=1× 1 2 +2× 1 22 +…+(n-1)• 1 2n-1 +n• 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +2× 1 23 +…+(n-1)• 1 2n +n• 1 2n+1

，
兩式相減可得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n

1

2n+1

=1-(1+

n

2

)•(

1

2

)n，
所以Tn=2-

n+2

2n

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．