Question

已知R上的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R，f（x+2）=

1

f(x)

，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2-x，則f（

2015

2

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知f（x+2）=

1

f(x)

，將x換為x+2，求出f（x）的周期為4，結(jié)合偶函數(shù)的定義，f（

2015

2

）變形到f（

1

2

），再由x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2-x，即可得到答案．

解答： 解：由已知f（x+2）=

1

f(x)

，
得，f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
即函數(shù)的周期為4，
又f（x）是R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
故f（

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2

）=f（252×4-

1

2

）=f（-

1

2

）=f（

1

2

）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2-x，
則f（

1

2

）=2-

1

2

=

3

2

，
故f（

2015

2

）═

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性和函數(shù)的奇偶性的定義及應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．