Question

如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線BD₁上，∠PDA=60°．
（1）求DP與CC₁所成角的大�。�
（2）求DP與平面AA₁D₁D所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．利用向量法能求出DP與CC'所成的角．
（Ⅱ）平面AA'D'D的一個(gè)法向量是

DC

=(0，1，0)，由此能求出DP與平面AA'D'D所成的角的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則

DA

=(1，0，0)，

CC′

=(0，0，1)．
連結(jié)BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延長(zhǎng)DP交B'D'于H．
設(shè)

DH

=(m，m，1)(m＞0)，
由已知＜

DH

，

DA

＞=60°，
由

DA

•

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞
得2m=

2m2+1

．解得m=

2

2

，
所以

DH

=(

2

2

，

2

2

，1)．（4分）
因?yàn)?span id="n7rln9b" class="MathJye">cos＜

DH

，

CC′

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1× 2

=

2

2

，（6分）
所以＜

DH

，

CC′

＞=45°．
所以DP與CC'所成的角為45°，（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一個(gè)法向量是

DC

=(0，1，0)．
因?yàn)?span id="79bd7bl" class="MathJye">cos＜

DH

，

DC

＞=

2 2 ×0+ 2 2 ×1+1×0

1× 2

=

1

2

，（12分）
所以＜

DH

，

DC

＞=60°．
所以DP與平面AA'D'D所成的角為30°．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．