Question

【題目】設(shè)橢圓C： =1（a＞b＞0），橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線與圓O：x2+y2= 相切，且拋物線y2=﹣4 x的準(zhǔn)線恰好過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點(diǎn)P作圓的切線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接PO并延長交圓O于點(diǎn)Q，求△ABQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線與圓O：x2+y2= 相切， 所以 ，
又拋物線y2=﹣4 其準(zhǔn)線方程為x= ，
因?yàn)閽佄锞�y2=﹣4 的準(zhǔn)線恰好過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，
所以c= ，從而a2﹣b2=c2=2
兩式聯(lián)立，解得b2=2，a2=4，
所以橢圓C的方程為：
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB方程為l：x= ，
則A（ ， ），B（ ，﹣ ），P（ ，0），所以Q（﹣ ，0），
從而S△ABQ= |PQ||AB|= =
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程設(shè)為y=kx+m，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯(lián)立方程組 ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
△=（4mk）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2+2）＞0，
即4k2﹣m2+2＞0

因?yàn)橹本�與圓相切，所以d= = ，∴3m2=4（1+k2）
|AB|= =
=
=
當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|= = ，
因?yàn)?k2+ ，
所以1＜1+ ，所以 ．
因?yàn)镻Q圓O的直徑，所以S△ABQ= |PQ||AB|= = ．
所以 ＜S△ABQ≤2 ．
k=0時(shí)，S△ABQ= |PQ||AB|= × × =
綜上可得△ABQ面積的取值范圍為[ ，2 ]
【解析】（Ⅰ）利用橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線與圓O：x2+y2= 相切，推出 ，以及c= ，然后求解橢圓方程．（Ⅱ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出A、B、P、Q坐標(biāo)，然后求解S△ABQ ． ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程設(shè)為y=kx+m，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立 ，消去y利用韋達(dá)定理判別式以及弦長公式，點(diǎn)到直線的距離，求出S△ABQ= |PQ||AB利用基本不等式求解最值，然后推出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．