【題目】已知函數(shù)g(x)= +g(x).
(1)試判斷g(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在區(qū)間(0,1)上有極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a>0時,若f(x)有唯一的零點x0 , 試求[x0]的值.(注:[x]為取整函數(shù),表示不超過x的最大整數(shù),如[0.3]=0,[2.6]=2,[﹣1.4]=﹣2;以下數(shù)據(jù)供參考:ln2=0.6931,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946)

【答案】
(1)解: ,

② 當a≥0時,g'(x)<0,∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;

②當a<0時,由g'(x)=0,解得 ,

時,g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

時,g'(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增


(2)解:f(x)=x2+g(x),其定義域為(0,+∞).

,

令h(x)=2x3﹣ax﹣2,x∈(0,+∞),h'(x)=6x2﹣a,

當a<0時,h'(x)>0恒成立,∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),

又h(0)=﹣2<0,h(1)=﹣a>0,

∴函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一個變號零點x0,且x0也是f'(x)的變號零點,

此時f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值.

當a≥0時,h(x)=2(x3﹣1)﹣ax<0,即x∈(0,1)時,f'(x)<0恒成立,

∴函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,此時函數(shù)f(x)無極值

綜上可得:f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極值時實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,0)


(3)解:∵a>0時,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)

由(2)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時,f(x)>0,∴x0>1.

又f(x)在區(qū)間(1,+∞)上只有一個極小值點記為x1,

且x∈(1,x1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

x∈(x1,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

由題意可知:x1即為x0

,∴ 消去可得: ,

,則t(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增

又∵

由零點存在性定理知 t(2)<0,t(3)>0

∴2<x0<3∴[x0]=2


【解析】(1)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),討論當a≥0時,當a<0時,由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),令h(x)=2x3﹣ax﹣2,x∈(0,+∞),求出導(dǎo)數(shù),討論a的符號,判斷單調(diào)性,即可得到所求a的范圍;(3)由(2)可知:f(1)=3知x∈(0,1)時,f(x)>0,則x0>1,討論f(x)在x>1的單調(diào)性,再由零點的定義和極值點的定義,可得x0的方程,構(gòu)造函數(shù) ,判斷單調(diào)性,由零點存在性定理知 t(2)<0,t(3)>0,即可得到所求值.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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