【題目】足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”.為推廣足球運(yùn)動(dòng),某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報(bào)名人數(shù)較多,需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來(lái)決定是否錄取,規(guī)則如下:
(1)下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán),該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”,每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立,將他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為,求;
(2)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開(kāi)始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第次觸球者,第n次觸球者是甲的概率記為.
(i)求,,(直接寫(xiě)出結(jié)果即可);
(ii)證明:數(shù)列為等比數(shù)列.
【答案】(1)(2)(i),,(ii)證明見(jiàn)解析;
【解析】
(1)先求出踢一次點(diǎn)球命中的概率,然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式分別求出取1,2,3的概率,再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式可求得結(jié)果;
(2)(i)根據(jù)傳球順序分析可得答案;(ii)根據(jù)題意可得,再變形為,根據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論.
(1)這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為,
則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率,
由題意,可能取1,2,3,則
,,,
則的期望.
(2)(i)因?yàn)閺募组_(kāi)始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人,所以第1次觸球者是甲的概率,顯然第2次觸球者是甲的概率,第2次傳球有兩種可能,所以第3次觸球者是甲的概率概,
(ii)∵第n次觸球者是甲的概率為,
所以當(dāng)時(shí),第次觸球者是甲的概率為,第次觸球者不是甲的概率為,
則.
從而,又,
∴是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面;
(2)若,為棱的中點(diǎn),,,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市有東西南北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的人口,在早高峰時(shí)間段,時(shí)常發(fā)生交通擁堵,交警部門(mén)記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況(如下表所示,其中●表示擁堵,○表示通暢).假設(shè)每個(gè)入口是否發(fā)生擁堵相互獨(dú)立,將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.
(1)分別求該城市一天中早高峰時(shí)間段這四個(gè)主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.
(2)各入口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來(lái)疏通,聘請(qǐng)交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方案一:四個(gè)主干道入口在早高峰時(shí)間段每天各聘請(qǐng)一位交通協(xié)管員,聘請(qǐng)每位交通協(xié)管員的日費(fèi)用為m(,且)元.方案二:在早高峰時(shí)間段若某主干道入口發(fā)生擁堵,交警部門(mén)則需臨時(shí)調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通,調(diào)派后當(dāng)日需給每位交通協(xié)管員的費(fèi)用為200元.以四個(gè)主干道入口聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),你認(rèn)為在這兩個(gè)方案中應(yīng)該如何選擇?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品,傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來(lái),可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球表面積的最大值為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,底面為正方形,為正三角形,是的中點(diǎn),過(guò)的平面平行于平面,且平面與平面的交線為,與平面的交線為.
(1)在圖中作出四邊形(不必說(shuō)出作法和理由);
(2)若,四棱錐的體積為,求點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】某校同時(shí)提供、兩類線上選修課程,類選修課每次觀看線上直播分鐘,并完成課后作業(yè)分鐘,可獲得積分分;類選修課每次觀看線上直播分鐘,并完成課后作業(yè)分鐘,可獲得積分分.每周開(kāi)設(shè)次,共開(kāi)設(shè)周,每次均為獨(dú)立內(nèi)容,每次只能選擇類、類課程中的一類學(xué)習(xí).當(dāng)選擇類課程次,類課程次時(shí),可獲得總積分共_______分.如果規(guī)定學(xué)生觀看直播總時(shí)間不得少于分鐘,課后作業(yè)總時(shí)間不得少于分鐘,則通過(guò)線上選修課的學(xué)習(xí),最多可以獲得總積分共________分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如圖所示的程序框圖,給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入x的值為2,則輸出的值為( )
A.80B.192C.448D.36
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【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】閏月年指農(nóng)歷里有閏月的年份,比如2020年是閏月年,4月23日至5月22日為農(nóng)歷四月,5月23日至6月20日為農(nóng)歷閏四月.農(nóng)歷置閏月是為了農(nóng)歷年的平均長(zhǎng)度接近回歸年:農(nóng)歷年中的朔望月的平均長(zhǎng)度為29.5306日,日,回歸年的總長(zhǎng)度為365.2422日,兩者相差10.875日.因此,每19年相差206.625日,約等于7個(gè)朔望月.這樣每19年就有7個(gè)閏月年.以下是1640年至1694年間所有的閏月年:
1640 | 1642 | 1645 | 1648 | 1651 | 1653 | 1656 |
1659 | 1661 | 1664 | 1667 | 1670 | 1672 | 1675 |
1678 | 1680 | 1 683 | 1686 | 1689 | 1691 | 1694 |
則從2020年至2049年,這30年間閏月年的個(gè)數(shù)為( )
A.10B.11C.12D.13
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