【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,

1)證明:平面

2)若,為棱的中點,,求二面角的正弦值.

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1)由矩形性質(zhì)及面面垂直性質(zhì),可證明平面,從而可知,結(jié)合題意,即可由線面垂直的判定定理證明平面

2)取中點,連接可證明,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,設(shè),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可由空間向量法求得二面角的余弦值,進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求得正弦值.

1)證明:∵四邊形是矩形

∵平面平面,平面平面,平面

平面,

又∵平面

平面

2)取中點,連接,

,

又面,且面

,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,設(shè)

建立空間直角坐標(biāo)系

由(1)知平面,故

,設(shè),

可得,,

所以,,由題得,解得,

設(shè)是平面的法向量,則,即,得

設(shè)是平面的法向量,則,即,得,

,

∴二面角的正弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,,且

(1)若函數(shù)處取得極值,試求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè),的導(dǎo)函數(shù),若存在,使成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年入冬時節(jié),長春市民為了迎接2022年北京冬奧會,增強身體素質(zhì),積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者,并由專業(yè)的評估機構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分(滿分為100分)并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動,得到如圖所示的頻率分布直方圖:

1)求的值;

2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進(jìn)行統(tǒng)計,請將下列列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系?

擅長

不擅長

合計

男性

30

女性

50

合計

100

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了提高生產(chǎn)效益,某企業(yè)引進(jìn)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備,為了解設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量情況,分別從新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中,各隨機抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測,所有產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值均在(1545]以內(nèi),規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值大于30的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,質(zhì)量指標(biāo)值在(1530]的產(chǎn)品為合格品.舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻率分布直方圖所示,新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻數(shù)分布表所示.

質(zhì)量指標(biāo)

頻數(shù)

1520]

2

20,25]

8

2530]

20

30,35]

30

3540]

25

40,45]

15

合計

100

1)請分別估計新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.

2)優(yōu)質(zhì)品率是衡量一臺設(shè)備性能高低的重要指標(biāo),優(yōu)質(zhì)品率越高說明設(shè)備的性能越高.根據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表(單位:件),并判斷是否有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.

非優(yōu)質(zhì)品

優(yōu)質(zhì)品

合計

新設(shè)備產(chǎn)品

舊設(shè)備產(chǎn)品

合計

附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

,其中.

3)用頻率代替概率,從新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品,其中優(yōu)質(zhì)品數(shù)為X件,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,其中

(1)是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值;

(2)若對任意的為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓為參數(shù)和直線其中為參數(shù),為直線的傾斜角.

(1)當(dāng)時,求圓上的點到直線的距離的最小值;

(2)當(dāng)直線與圓有公共點時,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知F1F2是橢圓Cab0)的左、右焦點,過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標(biāo)為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過F1的直線l交橢圓于AB兩點,當(dāng)△ABF2面積最大時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知a,bc為正實數(shù),且滿足a+b+c1.證明:

1|a|+|b+c1|;

2)(a3+b3+c3)(≥3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】足球運動被譽為世界第一運動”.為推廣足球運動,某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報名人數(shù)較多,需對報名者進(jìn)行點球測試來決定是否錄取,規(guī)則如下:

1)下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個點球中的進(jìn)球頻率代表其單次點球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán),該同學(xué)進(jìn)行了點球測試,每次點球是否踢進(jìn)相互獨立,將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為,求

2)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第次觸球者,第n次觸球者是甲的概率記為.

i)求,(直接寫出結(jié)果即可);

ii)證明:數(shù)列為等比數(shù)列.

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