【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球表面積的最大值為____.
【答案】
【解析】
求出一個正四面體的體積乘以2,即為所求六面體的體積;取該六面體的一半記為正四面體,取BC中點為D,連接SD,AD,作平面ABC,垂足O在AD上,當六面體內(nèi)的球體積最大時球心為O且該球與SD相切,過球心作,則OE就是球半徑,求出OE代入球體體積計算公式即可得解.
一個正三角形面積為,該六面體是由六個邊長為的正三角形構(gòu)成的,所以,該六面體看成由兩個全等的正四面體組合而成,正四面體的棱長為,如圖,
在棱長為的正四面體中,取BC中點為D,連接SD,AD,作平面ABC,垂足O在AD上,則,,,則該正四面體的體積為,
該六面體的體積為兩個正四面體的體積之和,
當該六面體內(nèi)有一球,如上圖,且該球體積取最大值時,球心為O,且該球與SD相切,過球心作,則OE就是球半徑,
因為,所以球半徑,
所以該球體積的最大值為:.
故答案為:答題空1:;答題空2:;
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高生產(chǎn)效益,某企業(yè)引進了一批新的生產(chǎn)設(shè)備,為了解設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量情況,分別從新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中,各隨機抽取100件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,所有產(chǎn)品質(zhì)量指標值均在(15,45]以內(nèi),規(guī)定質(zhì)量指標值大于30的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,質(zhì)量指標值在(15,30]的產(chǎn)品為合格品.舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標值如頻率分布直方圖所示,新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標值如頻數(shù)分布表所示.
質(zhì)量指標 | 頻數(shù) |
(15,20] | 2 |
(20,25] | 8 |
(25,30] | 20 |
(30,35] | 30 |
(35,40] | 25 |
(40,45] | 15 |
合計 | 100 |
(1)請分別估計新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.
(2)優(yōu)質(zhì)品率是衡量一臺設(shè)備性能高低的重要指標,優(yōu)質(zhì)品率越高說明設(shè)備的性能越高.根據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表(單位:件),并判斷是否有95%的把握認為“產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)”.
非優(yōu)質(zhì)品 | 優(yōu)質(zhì)品 | 合計 | |
新設(shè)備產(chǎn)品 | |||
舊設(shè)備產(chǎn)品 | |||
合計 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
,其中.
(3)用頻率代替概率,從新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品,其中優(yōu)質(zhì)品數(shù)為X件,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c為正實數(shù),且滿足a+b+c=1.證明:
(1)|a|+|b+c﹣1|;
(2)(a3+b3+c3)()≥3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試,當他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時,甲說:“丙或丁申請了”;乙說:“丙申請了”;丙說:“甲和丁都沒有申請”;丁說:“乙申請了”,如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的,那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求圓的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)設(shè)直線與軸, 軸分別交于兩點,點是圓上任一點,求兩點的極坐標和面積的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】足球運動被譽為“世界第一運動”.為推廣足球運動,某學(xué)校成立了足球社團由于報名人數(shù)較多,需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取,規(guī)則如下:
(1)下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率.為加入足球社團,該同學(xué)進行了“點球測試”,每次點球是否踢進相互獨立,將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為,求;
(2)社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第次觸球者,第n次觸球者是甲的概率記為.
(i)求,,(直接寫出結(jié)果即可);
(ii)證明:數(shù)列為等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有一題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟四斗.羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?其意是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償4斗粟,羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還,牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟?在這個問題中,牛主人比羊主人多賠償了多少斗( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)定義:對于函數(shù),若存在,使成立,則稱為函數(shù)的不動點. 如果函數(shù)存在兩個不同的不動點,求實數(shù)的取值范圍.
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