【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形,DC=4,O為BD的中點(diǎn).

(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)若E為線(xiàn)段PA上一點(diǎn),且 ,求二面角P﹣OE﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:設(shè)F為DC的中點(diǎn),連接BF,則DF=AB,

∵AB⊥AD,AB=AD,AB∥DC,

∴四邊形ABFD為正方形,

∵O為BD的中點(diǎn),∴O為AF,BD的交點(diǎn),

∵PD=PB=2,∴PO⊥BD,

∵BD= = =2

∴PO= = = ,AO=

在三角形PAO中,PO2+AO2=PA2=4,∴PO⊥AO,

∵AO∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.


(2)解:由(1)知PO⊥平面ABCD,又AB⊥AD,

∴過(guò)O分別做AD,AB的平行線(xiàn),以它們做x,y軸,以O(shè)P為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由已知得:A(﹣1,﹣1,0),B(﹣1,1,0),D(1,﹣1,0),

F(1,1,0),C(1,3,0),P(0,0, ),O(0,0,0),

設(shè)E(a,b,c),∵ ,∴(a+1,b+1,c)=( ),

,解得 ,∴E(﹣ ,﹣ , ),

=(﹣ ,﹣ , ), =(0,0, ), =(1,3,0)

設(shè)平面OPE的法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1,0),

設(shè)平面OEC的法向量 =(a,b,c),

,取a=3,得 =(3,﹣1,2 ),

設(shè)二面角P﹣OE﹣C的平面角為θ,

則cosθ=|cos< , >|= = =

∴二面角P﹣OE﹣C的余弦值為


【解析】(1)設(shè)F為DC的中點(diǎn),連接BF,推導(dǎo)出四邊形ABFD為正方形,PO⊥BD,PO⊥AO,由此能證明PO⊥平面ABCD.(2)過(guò)O分別做AD,AB的平行線(xiàn),以它們做x,y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P﹣OE﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,則該直線(xiàn)與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.2n
B.2n
C.
D.n+1

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