Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)P（1， ）
（1）橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
①當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求|MN|的長(zhǎng)；
②求△MF1N的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當(dāng)△MF1N的內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，得a2﹣b2=c2=1，且 ，

解得：a2=4，b2=3．

故橢圓C的方程為 ；

（2）解：①直線l的方程為y=x﹣1，

聯(lián)立 ，消去x得，7x2﹣8x﹣8=0．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ．

∴|MN|=

= ；

②設(shè)直線l的方程為：x=my+1，由 ，得

（3m2+4）y2+6my﹣9=0．

△=（6m）2+36（3m2+4）=144m2+144＞0．

．

設(shè)△MF1N的內(nèi)切圓半徑為r，由 可知，

當(dāng) 最大時(shí)，r也最大，△MF1N的內(nèi)切圓面積也最大．

由 = ．

令t= ，則t≥1，且m2=t2﹣1，則 ．

令f（t）= ，

則 ，從而f（t）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，

故有f（t）≥f（1）=4．

∴ ．

即當(dāng)t=1，m=0時(shí)， 有最大值3，即 ．

這時(shí)△MF1N的內(nèi)切圓面積的最大值為 ，直線l的方程為x=1．

【解析】（1）由橢圓的焦距2c=1結(jié)合隱含條件得關(guān)于a，b的一個(gè)方程，再由橢圓過(guò)點(diǎn)P（1， ）得另一方程，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；（2）①寫(xiě)出直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立后由弦長(zhǎng)公式求得|MN|的長(zhǎng)；②設(shè)出直線l的方程x=my+1，和橢圓方程聯(lián)立，得到當(dāng) 最大時(shí)，r也最大，△MF1N的內(nèi)切圓面積也最大，利用根與系數(shù)關(guān)系把△MF1N的面積轉(zhuǎn)化為含有m的代數(shù)式，換元后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性求得最值并得到直線l的方程．