Question

【題目】已知函數f（x）=x+ 是奇函數．
（1）若點Q（1，3）在函數f（x）的圖象上，求函數f（x）的解析式；
（2）寫出函數f（x）的單調區(qū)間（不要解答過程，只寫結果）；
（3）設點A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），點P在f（x）的圖象上，且△ABP的面積為2，若這樣的點P恰好有4個，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x+ 是奇函數，則f（x）+f（﹣x）=0恒成立，即x+ b=0．∴f（x）=x+ （a＞0）．

∵Q（1，3）在函數f（x）的圖象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+ ．（x≠0）．

（2）解：f（x）=x+ （a＞0）．的增區(qū)間為：（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞）；減區(qū)間為：（﹣ ，0），（0， ）．

（3）解：∵點A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在橫軸上，且AB=1，

∴在f（x）的圖象上恰好有4個點，使△ABP的面積為2在f（x）的圖象上恰好有4個點到橫軸的距離等于4，

如圖所示，函數f（x）的圖象與y=4，y=﹣4各有兩個交點，即f（x）min＜4，2 ＜4，解得0＜a＜4．

∴實數a的取值范圍為：（0，4）．

【解析】（1）f（x）+f（﹣x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函數f（x）的圖象上，可得a=2即可． （2）由對勾函數圖象可得；（3）在f（x）的圖象上恰好有4個點，使△ABP的面積為2在f（x）的圖象上恰好有4個點到橫軸的距離等于4，即f（x）min＜4，2 ＜4，解得a．