Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設(shè)

AP

=x

AD

，

PB

•

PC

=y，對于函數(shù)y=f（x），給出以下四個結(jié)論：
①當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）的值域為[1，4]； 
②對任意a＞0，都有f（1）=1成立；
③對任意a＞0，函數(shù)f（x）的最大值都等于4；
④存在實數(shù)a＞0，使得函數(shù)f（x）最小值為0．
其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．可得B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a）．利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得f（x）=y=

PB

•

PC

=（1+a²）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．通過對a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a）．
∵

AP

=x

AD

，
∴

BP

=

BA

+x

AD

=（2，0）+x（-1，a）=（2-x，xa）．
∴

PB

=（x-2，-xa），

PC

=（0，a）-（2-x，xa）=（x-2，a-ax）．
∴y=

PB

•

PC

=（x-2）²-ax（a-ax）
=（1+a²）x²-（4+a²）x+4．x∈[0，1]．
①當(dāng)a=2時，y=f（x）=5x²-8x+4=5(x-

4

5

)2+

4

5

．
當(dāng)x=

4

5

時，函數(shù)y取得最小值

4

5

；
又f（0）=4，f（1）=1，∴函數(shù)f（x）的最大值為4．
因此函數(shù)f（x）的值域為：[

4

5

，1]．
②對任意a＞0，都有f（1）=1+a²-（4+a²）+4=1成立，正確；
③對任意a＞0，函數(shù)f（x）=(1+a2)[x-

4+a2

2(1+a2)

]2+

8a2-a4

4(1+a2)

．
當(dāng)a≥

2

時，0＜

4+a2

2(1+a2)

≤1，而f（0）=4，f（1）=1，因此函數(shù)f（x）的最大值等于4；
當(dāng)0＜a＜

2

時，

4+a2

2(1+a2)

＞1，∴函數(shù)f（x）在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞減，而f（0）=4取得最大值．
綜上可知：對任意a＞0，函數(shù)f（x）的最大值都等于4．
④由③可知：當(dāng)a≥

2

時，當(dāng)x=

4+a2

2(1+a2)

時，函數(shù)f（x）取得最小值

8a2-a4

4(1+a2)

，令

8a2-a4

4(1+a2)

=0，
解得a=2

2

，當(dāng)a=2

2

時，使得函數(shù)f（x）最小值為0．
當(dāng)0＜a＜

2

時，

4+a2

2(1+a2)

＞1，∴函數(shù)f（x）在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞減，而f（1）=1取得最小值．
綜上可知：存在實數(shù)a=2

2

＞0，使得函數(shù)f（x）最小值為0．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題綜合考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積的運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．