Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-1，0），離心率為

2

2

，函數(shù)f（x）=

1

2x

+

3

4

x，
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（t，0）（t≠0），Q（f（t），0），過P的直線l交橢圓P于A，B兩點(diǎn)，求

QA

•

QB

的最小值，并求此時(shí)的t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用左焦點(diǎn)F（-1，0），離心率為

2

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求

QA

•

QB

的最小值，并求此時(shí)的t的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵左焦點(diǎn)F（-1，0），離心率為

2

2

，
∴c=1，a=

2

，
∴b=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）若直線l斜率不存在，則

QA

•

QB

=(

1

2t

+

3

4

t)2-2
設(shè)直線l：y=k（x-t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，0），
直線代入橢圓方程可得（2k²+1）x²-4k²tx+2k²t²-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2t

1+2k2

，x₁x₂=

2k2t2-2

1+2k2

∴

QA

•

QB

=（k²+1）x₁x₂-（k²t+x₀）（x₁+x₂）+x₀²+k²t²=x₀²-2=(

1

2t

+

3

4

t)2-2≥-2+(2

1 2t • 3 4 t

)2=-

1

2

，
故

QA

•

QB

的最小值為-

1

2

，此時(shí)t=±

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的綜合問題，通常需要聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理進(jìn)行解決．