Question

紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行籃球比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一場，已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.4，0.5，0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；
（2）設(shè)ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知紅隊(duì)至少有兩名隊(duì)員獲勝包括四種情況，一是只有甲輸，二是只有乙輸，三是只有丙輸，四是三個人都贏，這四種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量對應(yīng)的概率，變量等于2使得概率可以用1減去其他的概率得到，寫出分布列，算出期望．

解答： 解：（1）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，
則

.

D

，

.

E

，

.

F

分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．
因?yàn)镻（D）=0.4，P（E）=0.5，P（F）=0.5
由對立事件的概率公式知P（

.

D

）=0.6，P（

.

E

）=0.5，P（

.

F

）=0.5．
紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DE

.

F

，D

.

E

F，

.

D

EF，DEF…（2分）
由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，
因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P=P（DE

.

F

）+P（D

.

E

F+P（

.

D

EF）+P（DEF）
=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.45…（6分）
（2）依題意可知ξ=0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

D

.

E

.

F

)=P(

.

D

)P(

.

E

)P(

.

F

)=0.6×0.5×0.5=0.15；…（7分）
P(ξ=1)=P(D

.

E

.

F

)+P(

.

D

E

.

F

)+P(

.

D

.

E

F)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4…（8分）
P(ξ=2)=P(DE

.

F

)+P(

.

D

EF)+P(D

.

E

F)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35…（9分）
P（ξ=3）=P（DEF）=0.4×0.5×0.5=0.1…（10分）
故ξ的分布列為

	0	1	2	3
P	0.15	0.4	0.35	0.1

故Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4…（12分）

點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時注意對立事件概率的使用，一般遇到從正面解決比較麻煩的，就選擇利用對立事件來解決．