【題目】如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(Ⅰ)求證:AB⊥DE;
(Ⅱ)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC∥平面FBD?若存在,求出 ;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)證明:取AB中點(diǎn)O,連接EO,DO.因?yàn)镋B=EA,所以EO⊥AB.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD.
因?yàn)镋O∩OD=O
所以AB⊥平面EOD.
因?yàn)镋D平面EOD
所以AB⊥ED.
(Ⅱ)解:因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD,且 EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD,
因?yàn)镺D平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
因?yàn)椤鱁AB為等腰直角三角形,所以O(shè)A=OB=OD=OE,設(shè)OB=1,所以O(shè)(0,0,0),A(﹣1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).
所以 ,平面ABE的一個(gè)法向量為
設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ,
所以 ,
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為
(Ⅲ)解:存在點(diǎn)F,且 時(shí),有EC∥平面FBD
證明如下:由 ,所以
設(shè)平面FBD的法向量為 =(a,b,c),則有
所以 取a=1,得 =(1,1,2).
因?yàn)? =(1,1,﹣1)(1,1,2)=0,且EC平面FBD,所以EC∥平面FBD.
即點(diǎn)F滿足 時(shí),有EC∥平面FBD.

【解析】(Ⅰ)取AB中點(diǎn)O,連接EO,DO.利用等腰三角形的性質(zhì),可得EO⊥AB,證明邊形OBCD為正方形,可得AB⊥OD,利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD,從而可得AB⊥ED;(Ⅱ)由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,從而可得EO⊥OD.建立空間直角坐標(biāo)系,確定平面ABE的一個(gè)法向量為 , ,利用向量的夾角公式,可求直線EC與平面ABE所成的角;(Ⅲ)存在點(diǎn)F,且 時(shí),有EC∥平面FBD.確定平面FBD的法向量,證明 =0即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;要證明一條直線和一個(gè)平面平行,也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是,平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為,若才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣kx2(k∈R)有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(
A.k<0
B.k<1
C.0<k<1
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【題目】如圖,直棱柱ABC-中,DE分別是ABBB1的中點(diǎn),=AC=CB=AB.

)證明://平面;

)求二面角D--E的正弦值.

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【題目】若f(x)=x2+2 f(x)dx,則 f(x)dx=(
A.﹣1
B.﹣
C.
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【題目】某高校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求第3,4,5組的頻率;

(2)為了了解最優(yōu)秀學(xué)生的情況,該校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.

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【題目】設(shè)分別為具有公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的離心率,為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿

,則的值為 ( )

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【題目】已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的值域均為R,有以下命題:
①若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=f(x)成立,則f(x)=x.
②若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=x成立,則f(x)=x.
③若存在唯一的實(shí)數(shù)a,使得f[g(a)]=a成立,且對(duì)于任意x∈R都有g(shù)[f(x)]=x2﹣x+1成立,則存在唯一實(shí)數(shù)x0 , 使得g(ax0)=1,f(x0)=a.
④若存在實(shí)數(shù)x0 , y0 , f[g(x0)]=x0 , 且g(x0)=g(y0),則x0=y0
其中是真命題的序號(hào)是 . (寫(xiě)出所有滿足條件的命題序號(hào))

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1)設(shè)所用籬笆的總長(zhǎng)度為l,垂直于墻的邊長(zhǎng)為x.試用解析式將l表示成x的函數(shù),并確定這個(gè)函數(shù)的定義域;

2)怎樣圍才能使得所用籬笆的總長(zhǎng)度最?籬笆的總長(zhǎng)度最小是多少?

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【題目】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知的等比中項(xiàng)為,且的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【答案】.

【解析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,運(yùn)用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義,利用等差數(shù)列的求和公式,代入可求a1,d,解方程可求通項(xiàng)an

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng),公差為,則通項(xiàng)為

項(xiàng)和為,依題意有,

其中,由此可得,

整理得, 解方程組得,

由此得;或.

經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.

所以所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)及等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用。

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)anbn;

(2)

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