【題目】已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的值域均為R,有以下命題:
①若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=f(x)成立,則f(x)=x.
②若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=x成立,則f(x)=x.
③若存在唯一的實(shí)數(shù)a,使得f[g(a)]=a成立,且對(duì)于任意x∈R都有g(shù)[f(x)]=x2﹣x+1成立,則存在唯一實(shí)數(shù)x0 , 使得g(ax0)=1,f(x0)=a.
④若存在實(shí)數(shù)x0 , y0 , f[g(x0)]=x0 , 且g(x0)=g(y0),則x0=y0 .
其中是真命題的序號(hào)是 . (寫出所有滿足條件的命題序號(hào))
【答案】①③④
【解析】解:①令t=f(x),則對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=f(x)成立可化為:f(t)=t,即f(x)=x,故①為真命題;
②令 ,顯然能滿足題設(shè)條件,當(dāng)x≠0,有f(x)= ,不滿足結(jié)論;
故②為假命題;
③假設(shè)存在實(shí)數(shù)x0 ,
∵f(x0)=a,f(g(a))=a;
∴g(a)=x0;
g(f(x0))= ﹣x0+1;
=[g(a)]2﹣g(a)+1;
而f(g(a))=a,
∴命題成立;
故③正確;
④∵ ,g(x0)=g(y0);
∴x0=y0;
故④正確;
所以答案是:①③④
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用,掌握兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果對(duì)于任意的,都有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),其中a>0.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值0,求a的值;(提示:當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),lnx=x﹣1);
(Ⅱ)令F(x)=f(x)+a(x﹣1)+ (0<x≤3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x0 , y0)處切線的斜率k≤ 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)討論并求出函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(Ⅰ)求證:AB⊥DE;
(Ⅱ)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC∥平面FBD?若存在,求出 ;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過點(diǎn)P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 , x2 , 求證:x1x2>e2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本C(x)(萬(wàn)
元),若年產(chǎn)量不足80千件,C(x)的圖象是如圖的拋物線,此時(shí)C(x)<0的解集為(﹣30,0),且C(x)的最小值是﹣75,若年產(chǎn)量不小于80千件,C(x)=51x+ ﹣1450,每千件商品售價(jià)為50萬(wàn)元,通過市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完;
(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC 是圓 O 的直徑,點(diǎn) B 在圓 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)證明:EM⊥BF;
(2)求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)镈,如果存在非零常數(shù)T,對(duì)于任意 x∈D,都有f(x+T)=Tf (x),則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”,非零常數(shù)T為函數(shù)y=f( x)的“似周期”.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題:
①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為﹣1,那么它是周期為2的周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)=x是“似周期函數(shù)”;
③函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)”;
④如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”,那么“ω=kπ,k∈Z”.
其中是真命題的序號(hào)是 . (寫出所有滿足條件的命題序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S3=9,a2a4=21,數(shù)列{bn}滿足 ,若 ,則n的最小值為( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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