Question

（本小題14分）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；
（Ⅲ）記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個(gè)正數(shù)…，使得成立？請證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
（2）（3）存在，證明見解析

解析試題分析：
（Ⅰ），                   ……2分
①當(dāng)時(shí)，恒成立，故的遞增區(qū)間是；         ……3分
②當(dāng)時(shí)，令，則.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減； ……6分
（Ⅱ）由上述討論，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，
所以的最大值為=.                  ……8分
由題意有，解得.
所以的取值范圍為.                                     ……10分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.    記，其中.
∵當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，
即在上為增函數(shù).                                    ……12分
又，所以，對(duì)任意的，總有.
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e6/9/iyatg1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個(gè)正數(shù)….                                ……14分
考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于題目條件較復(fù)雜，設(shè)問較多的題目審題時(shí)，應(yīng)該細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)，將題目條件條目化，一一分析，細(xì)心推敲.對(duì)于設(shè)問較多的題目，一般前面的問題較簡單，問題難度階梯式上升，先由條件將前面的問題正確解答，然后將前面問題的結(jié)論作為后面問題解答的條件，注意問題之間的相互聯(lián)系，使問題化難為易，層層解決.