Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)任意, 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證： ．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，分類討論有：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．

（2）由題意可得，原問題等價(jià)于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）原問題等價(jià)于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.

試題解析：

（1），

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，

函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 得， 得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．

（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，

令， ，

可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．

（3）證明：，

令，則只要證明在上單調(diào)遞增，

又∵，

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．

∴，即，

∴在上單調(diào)遞增，即，

∴當(dāng)時(shí)，有．