Question

【題目】過拋物線L：x2=2py（p＞0）的焦點F且斜率為 的直線與拋物線L在第一象限的交點為P，且|PF|=5．

（1）求拋物線L的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=kx+t交拋物線L于不同的兩點M、N，若拋物線上一點C滿足 =λ（ + ）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線方程為y= x+ ，

代入x2=2py，可得x2﹣ p﹣p2=0，∴x=2p或﹣ ，

∴P（2p，2p），

∵|PF|=5，

∴2p+ =5，

∴p=2，

∴拋物線L的方程x2=4y

（2）解：∵直線與圓相切，

∴ =1，

∴k2=t2+2t，

把直線方程代入拋物線方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0

由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t

由 =λ（ + ）=（4kλ，（4k2+2t）λ）

得C（4kλ，（4k2+2t）λ）

∵點C在拋物線x2=4y上，

∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，

∴λ=1+ =1+

∵t＞0或t＜﹣3，

∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2

∴λ的取值范圍為（ ，1）∪（1， ）

【解析】（1）設(shè)直線方程為y= x+ ，代入x2=2py，求出P的坐標，利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線L的方程；（2）為直線與圓相切，利用相切的性質(zhì)即可得出k與t 的關(guān)系式，再把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式△＞0得到t的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知滿足足 =λ（ + ）（λ＞0），即可得出λ的取值范圍．