【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC= AA1=1,D是棱AA1上的點(diǎn),DC1⊥BD
(Ⅰ)求證:D為AA1中點(diǎn);
(Ⅱ)求直線BC1與平面BDC所成角正弦值大;
(Ⅲ)在△ABC邊界及內(nèi)部是否存在點(diǎn)M,使得B1M⊥面BDC,存在,說(shuō)明M位置,不存在,說(shuō)明理由.
【答案】證明:(Ⅰ)根據(jù)題意以CA、CB、CC1所在直線為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
∴D(1,0,h),C1(0,0,2),B(0,1,0),B1(0,1,2),
∴ =(﹣1,0,2﹣h), =(1,﹣1,h),
∴﹣1+h(2﹣h)=0,解得h=1,
∴D為AA1的中點(diǎn).
(Ⅱ) =(0,﹣1,2),
設(shè)面BDC的法向量 =(x,y,z),
則 ,設(shè)x=1,得 =(1,0,﹣1),
設(shè)直線BC1與平面BDC所成角為θ,
則sinθ= = = .
∴直線BC1與平面BDC所成角正弦值大小為 .
(Ⅲ)設(shè)M(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1,
∴ ,
∵B1M⊥面BDC,∴ ,
∴ ,解得 ,
∵x>1,∴在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M,使得B1M⊥面BDC.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意以CA、CB、CC1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明D為AA1的中點(diǎn).(Ⅱ)求出面BDC的法向量,利用向量法能求出直線BC1與平面BDC所成角正弦值.(Ⅲ)設(shè)M(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1,利用向量法推導(dǎo)出在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M,使得B1M⊥面BDC.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= . (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若不等式f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(III)求證:(1+1×2)(1+2×3)…(1+n(n×1))>e2n﹣3(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+2x+1在x=﹣1處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷部門為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2015年11月11日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購(gòu)情況,隨機(jī)抽查了該市100名網(wǎng)友的網(wǎng)購(gòu)金額情況,得到如圖頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)直方圖中網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù);
(2)若規(guī)定網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)15千元的顧客定義為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)15千元的顧客定義為“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”;若以該網(wǎng)店的頻率估計(jì)全市“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”和“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的概率,從全市任意選取3人,則3人中“非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù)之差的絕對(duì)值為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿足 ,若目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10,最小值為﹣2m﹣2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[2,3]
D.[﹣1,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x| <2x≤2},B={x|ln(x﹣ )≤0},則A∩(RB)=( )
A.
B.(﹣1, ]
C.[ ,1)
D.(﹣1,1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為 ,此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為 .
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【題目】已知直線l在直角坐標(biāo)系xOy中的參數(shù)方程為 為參數(shù),θ為傾斜角),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,在極坐標(biāo)系中,曲線的方程為ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.
(1)寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)Q(a,0),若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求使 為定值的值.
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