【題目】已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+2x+1在x=﹣1處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:f'(x)=ex+xex+2ax+2,

∵f(x)在x=1處取得極值,

∴f'(﹣1)=0,解得a=1.經(jīng)檢驗(yàn)a=1適合,

∴f(x)=xex+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(ex+2),

當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時(shí),f'(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,﹣1)遞減;

當(dāng)x∈(﹣1+∞)時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)遞增


(2)解:函數(shù)y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

等價(jià)于xex+x2+2x﹣m=0在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,

等價(jià)于xex+x2+2x=m在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根.

令g(x)=xex+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(ex+2),

由(1)知g(x)在(﹣∞,﹣1)遞減;在(﹣1,+∞)遞增.

g(x)在[﹣2,2]上的極小值也是最小值;

,g(2)=8+2e2>g(﹣2),

,即


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于a的方程,求出a,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題等價(jià)于xex+x2+2x=m在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根.令g(x)=xex+x2+2x,求出函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值,從而求出m的范圍即可.

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