Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，∠BAF=

π

3

，M為BD的中點(diǎn)，平面ABCD⊥平面ABEF．求證：
（1）BF⊥平面DAF；
（2）ME∥平面DAF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，可得DA⊥AB．進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到：DA⊥平面ABEF，進(jìn)而DA⊥BF，又由AB為直徑，得到BF⊥AF．最后由線面垂直的判定定理得到BF⊥平面DAF；
（2）因∠BAF=

π

3

，AB∥EF，可得EF=

1

2

AB；取DA中點(diǎn)N，連NF，MN，可判斷出四邊形MNFE為平行四邊形，即ME∥NF，最后由線面平行的判定定理得到：ME∥平面DAF．

解答： 解：（1）因四邊形ABCD為矩形，
故DA⊥AB．
因平面ABCD⊥平面ABEF，且DA?平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
故DA⊥平面ABEF…3分
因BF?平面ABEF，
故DA⊥BF…4分
因AB為直徑，
故BF⊥AF．
因DA，AF為平面DAF內(nèi)的兩條相交直線，
故BF⊥平面DAF…7分
（2）因∠BAF=

π

3

，AB∥EF，
故EF=

1

2

AB…8分
取DA中點(diǎn)N，連NF，MN，
因M為BD的中點(diǎn)，
故MN∥AB，且MN=

1

2

AB，
于是四邊形MNFE為平行四邊形，
所以ME∥NF…11分
因NF?平面DAF，ME?平面DAF，
故ME∥平面DAF…14分

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，難度不大，屬于中檔題．