Question

設(shè)A（-m，0），B（m，0）（m≠0），直線AC，BC相交于C，而且他們的斜率之積為-

1

m2

，若點(diǎn)P（1，

2

2

）是點(diǎn)C的軌跡上的點(diǎn)，直線l的方程為x=2．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)E（1，0）的直線與點(diǎn)C的軌跡相交于D，M兩點(diǎn)（不經(jīng)過P點(diǎn)），直線DM與直線l相交于N，記直線PD，PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，k₃．求證：k₁+k₂=2k₃．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y）則k_AC•k_BC=-

1

m2

，化簡后代入點(diǎn)P（1，

2

2

），求出m，即可求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ使得k₁+k₂=μk₃，設(shè)D（x₁，y₁），M（x₂，y₂），直線DM的方程為y=k（x-1）代入點(diǎn)C的軌跡方程，利用韋達(dá)定理求出兩根和與兩根之積，表示出直線PD，PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，k₃．通過三點(diǎn)共線即可求出μ，得到所證明的k₁+k₂=2k₃．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C（x，y）則k_AC•k_BC=

y

x+m

•

y

x-m

=-

1

m2

(x≠±m(xù))--（2分）
化簡得

x2

m2

+y2=1(x≠±m(xù))----------------------------------（3分）
∵P（1，

2

2

）在點(diǎn)C的軌跡上，∴

1

m2

+

1

2

=1------------（4分）
∴m²=2，∴點(diǎn)C的軌跡方程為：

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)------------（6分）
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)μ使得k₁+k₂=μk₃，
由題意設(shè)直線DM的方程為y=k（x-1）代入點(diǎn)C的軌跡方程

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0---------------------------（8分）
設(shè)D（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2(k2-1)

1+2k2

---------（9分）
根據(jù)題意得N（2，k），從而k₁=

y1- 2 2

x1-1

，k₂=

y2- 2 2

x2-1

，k₃=

k- 2 2

2-1

=k-

2

2

．
又因?yàn)镋、D、M三點(diǎn)共線，∴k=

y1

x1-1

=

y2

x2-1

-------------------（10分）
∴k₁+k₂=

y1- 2 2

x1-1

+

y2- 2 2

x2-1

=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

-

2

2

(

1

x1-1

+

1

x2-1

)
=2k-

2

2

•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=2k-

2

2

•

4k2 1+2k2 -2

2(k2-1) 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1

=2k-

2

=2k₃-（12分）
故存在實(shí)數(shù)μ=2符合題意-----------------------（13分）
故k₁+k₂=2k₃--------------------（13分）（文科）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，軌跡方程的求法，考查分析問題與解答問題的能力，計(jì)算量大，難度高．