Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四邊形ACC₁A₁和四邊形BDD₁B₁均為矩形．
（Ⅰ）證明：O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C₁-OB₁-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，四邊形ACC₁A₁和四邊形BDD₁B₁均為矩形．可得O₁O∥CC₁∥BB₁且CC₁⊥AC，BB₁⊥BD，進(jìn)而OO₁⊥AC，OO₁⊥BD，再由線面垂直的判定定理得到O₁O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長均為2a，設(shè)AB為2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=

3

，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OO₁為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDD₁B₁和平面OB₁C₁的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值．

解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都相等，
∴四邊形ABCD為菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O為BD的中點(diǎn)，
同理O₁也是B₁D₁的中點(diǎn)，
又∵四邊形ACC₁A₁和四邊形BDD₁B₁均為矩形，
∴O₁O∥CC₁∥BB₁且CC₁⊥AC，BB₁⊥BD，
∴OO₁⊥AC，OO₁⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，
∴O₁O⊥底面ABCD；
解：（Ⅱ）設(shè)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長均相等，所以四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O₁O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO₁兩兩垂直，

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=

3

，
則O（0，0，0），B₁（

3

，0，2），C₁（0，1，2）
易知，

n1

=（0，1，0）是平面BDD₁B₁的一個法向量，
設(shè)

n2

=（x，y，z）是平面OB₁C₁的一個法向量，則

n2 • OB1 =0 n2 • OC1 =0

，即

3 x+2z=0 y+2z=0

取z=-

3

，則x=2，y=2

3

，所以

n2

=（2，2

3

，-

3

）
設(shè)二面角C₁-OB₁-D的大小為θ，易知θ是銳角，于是：
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=

2 3

19

=

2 57

19

，
故二面角C₁-OB₁-D的余弦值為

2 57

19

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．