Question

【題目】如圖一，在直角梯形中，分別為的三等分點(diǎn)，, ，，，若沿著折疊使得點(diǎn)和重合，如圖二所示，連結(jié).

（1）求證：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

取的中點(diǎn)分別為，連結(jié),,可得四邊形為平行四邊形,則,由,利用面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)及判定即可得證.

由,把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離,利用等體積法,通過代數(shù)運(yùn)算間接求出點(diǎn)到平面的距離即可.

（1）證明:取的中點(diǎn)分別為，連結(jié),如圖，

則且，

又因?yàn)?/span>且，

所以且，

故四邊形為平行四邊形，

所以.

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，三角形為等邊三角形，

所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,

故平面，因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面,

故平面平面；

（2）因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>平面,平面,

故平面，

故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.

由（1）知三棱錐的體積，

，，

故,

在中，，

取中點(diǎn)，連結(jié)，

則，

故，

設(shè)點(diǎn)至平面的距離為，

所以三棱錐的體積，

由于，則，即，

故點(diǎn)到平面的距離為.