Question

【題目】設點P在曲線y＝x2上，從原點向A(2,4)移動，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.

(1)當S1＝S2時，求點P的坐標；

(2)當S1＋S2有最小值時，求點P的坐標和最小值．

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

試題（1）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2

當x∈（0，t）時所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當x∈（t，2）時所圍面積，所以，

S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據S1=S2就可求出t值．

（Ⅱ）由（2）可求當S1+S2，化簡后，為t的三次函數，再利用導數求最小值，以及相應的x值，就可求出P點坐標為多少時，S1+S2有最小值．

試題解析：

（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），

直線OP的方程為y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因為S1=S2，，所以t=，點P的坐標為

（2）S=S1+S2==

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因為0＜t＜時，S'＜0；＜t＜2時，S'＞0

所以，當t=時，Smin=，P點的坐標為．