【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為 ,短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B(A在B的上方),且四邊形AF1BF2的面積為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G,求證:A,G,N三點(diǎn)共線.

【答案】
(1)解:∵橢圓C的離心率 ,∴b=c,因此四邊形AF1BF2是正方形.

∴a2=8,b=c=2.

∴橢圓C的方程為


(2)解:證明:將已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,

△=32(2k2﹣3)>0,解得:k

由韋達(dá)定理得: ①,xMxN= ,②

設(shè)M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),G(xG,1),

MB方程為:y= ,則G( ,1),

, ,

欲證A,G,N三點(diǎn)共線,只需證 共線,

(kxN+2)=﹣xN成立,化簡(jiǎn)得:(3k+k)xMxn=﹣6(xM+xN

將①②代入易知等式成立,則A,G,N三點(diǎn)共線得證


【解析】(1)橢圓C的離心率 ,可得b=c,四邊形AF1BF2是正方形,即a2=8,b=c=2.(2)將已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得:(2k2+1)x2+16kx+24=0

設(shè)M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),G(xG,1),

MB方程為:y= ,則G( ,1),

欲證A,G,N三點(diǎn)共線,只需證 , ,共線,即只需(3k+k)xMxn=﹣6(xM+xN)即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;

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(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

患三高疾病

不患三高疾病

合計(jì)

6

30

合計(jì)

36


(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為患“三高”疾病與性別有關(guān)? 下列的臨界值表供參考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:K2=

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