Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，關(guān)于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，e﹣ ）
B.（e﹣ ，+∞）
C.（0，e）
D.（1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：f′（x）= ， ∴當x＞e時，f′（x）＜0，當0＜x＜e時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴fmax（x）=f（e）= ．
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如下：

由圖象可知當0＜k 時，f（x）=k有兩解，
當k≤0或k= 時，f（x）=k有一解，當k 時，f（x）=k無解．
令g（x）=x2+mx﹣1，則g（f（x））有三個零點，
∴g（x）在（0， ）上有一個零點，在（﹣∞，0]∪{ }上有一個零點．
∵g（x）的圖象開口向上，且g（0）=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一個零點，
∴g（ ）＞0，即 ，
解得m＞e﹣ ．
故選B．
求出f（x）的單調(diào)性和極值，判斷方程f（x）=k的根的情況，令g（x）=x2+mx﹣1，根據(jù)f（x）=k的根的情況得出g（x）的零點分布情況，利用零點的存在性定理列出不等式求出m的范圍．