【題目】已知直線l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.

【答案】
(1)解:直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,

故無論k取何值,直線l總過定點(﹣2,1).


(2)解:直線l的方程可化為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,

要使直線l不經(jīng)過第四象限,則 ,

解得k的取值范圍是k≥0.


(3)解:依題意,直線l在x軸上的截距為﹣ ,在y軸上的截距為1+2k,

∴A(﹣ ,0),B(0,1+2k),

又﹣ <0且1+2k>0,

∴k>0,故S= |OA||OB|= × (1+2k)

= (4k+ +4)≥ (4+4)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)4k= ,即k= 時,取等號,

故S的最小值為4,此時直線l的方程為x﹣2y+4=0.


【解析】1、由特殊值法可求出直線l總過定點(﹣2,1)。
2、根據(jù)題意把直線的方程化為斜截式,由斜率和y軸上的截距限制直線l不經(jīng)過第四象限,即得k的取值范圍。
3、根據(jù)題意可求得,直線l在x軸上的截距和在y軸上的截距,由已知x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,所以得到k的取值范圍;利用基本不等式可求得S的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)4k= ,即k= 時成立,故求得S的最小值為4,此時直線l的方程為x﹣2y+4=0。
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識點,需要掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題.

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A.(0, ]
B.(0, ]
C.[ ,1)
D.[ ,1)

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