【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等,求切線的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1 , y1)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知(x+1)2+(y﹣2)2=2,所以圓心為(﹣1,2),半徑為 .
當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線方程為y=kx,則 = ,所以k=2± ,即切線方程為y=(2± )x.
當(dāng)切線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線方程為x+y=a,則 = ,所以a=﹣1或a=3,即切線方程為x+y+1=0或x+y﹣3=0.
綜上知,切線方程為y=(2± )x或x+y+1=0或x+y﹣3=0;
(2)解:因?yàn)閨PO|2+r2=|PC|2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1﹣2)2,即2x1﹣4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
當(dāng)直線PO垂直于直線2x﹣4y+3=0時(shí),即直線PO的方程為2x+y=0時(shí),|PM|最小,
此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn),得P點(diǎn)坐標(biāo)(﹣ , ).
【解析】(1)將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到圓心坐標(biāo)和半徑,分切線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)進(jìn)行設(shè)直線方程,再通過圓心到切線方程的距離等于半徑即可得出切線方程,(2)在直角三角形PMC中,根據(jù)勾股定理可得|PM|2+|CM|2=|PC|2,由|PM|=|PO|,|CM|=r可得|PO|2+r2=|PC|2,由兩點(diǎn)間距離公式經(jīng)化簡(jiǎn)可得2x1﹣4y1+3=0,要使|PM|最小,只要|PO|最小即可,當(dāng)直線PO垂直于直線2x﹣4y+3=0時(shí),即直線PO的方程為2x+y=0時(shí),|PM|最小,可得出P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 m>1 且關(guān)于 x 的不等式 的解集為 [0,4] .
①求 m 的值;
②若 a , b 均為正實(shí)數(shù),且滿足 a+b=m ,求 a2+b2 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1 , ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(I)求證:AD⊥平面BCC1B1;
(II)求證:A1B∥平面ADC1;
(III)求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,關(guān)于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,e﹣ )
B.(e﹣ ,+∞)
C.(0,e)
D.(1,e)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為對(duì)本公司的160名員工的身體狀況進(jìn)行調(diào)查,先將員工隨機(jī)編號(hào)為1,2,3,…,159,160,采用系統(tǒng)抽樣的方法(等間距地抽取,每段抽取一個(gè)個(gè)體)將抽取的一個(gè)樣本.已知抽取的員工中最小的兩個(gè)編號(hào)為5,21,那么抽取的員工中,最大的編號(hào)應(yīng)該是( )
A.141
B.142
C.149
D.150
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年下學(xué)期某市教育局對(duì)某校高三文科數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)調(diào)研,從該校文科生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將他們的成績(jī)分成六段[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140)后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這40名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù);
(2)若從數(shù)學(xué)成績(jī)[80,100)內(nèi)的學(xué)生中任意抽取2人,求成績(jī)?cè)赱80,90)中至少有一人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,其中a10=30,a20=50.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an﹣20,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 且函數(shù)y=f(x)圖象上點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0.
(1)試用含有a的式子表示b,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M(x0 , y0),(x0∈(x1 , x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱AB存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng) 時(shí),又稱AB存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)f(x)上是否存在兩點(diǎn)A,B使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出A,B的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(n)=(1+ )n﹣n,其中n為正整數(shù).
(1)求f(1),f(2),f(3)的值;
(2)猜想滿足不等式f(n)<0的正整數(shù)n的范圍,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
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