Question

幾何體的三視圖如圖，與交于點，分別是直線的中點，

（I）面；
（II）面；
（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

（I）見解析；（II）見解析；（Ⅲ）。

試題分析：由三視圖知，四邊形．均為邊長為的正方形，且
面
幾何體是直三棱柱．．．．．．．．．．．．．．．2分
（1）連接，分別為的中點
，面，面
面．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）法一：在中，由得
同理在中可得，在中可得
  

由是直線的中點得，而
 
又 
面．．．．．．．．．．．．．．．8分
法二：如圖以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)，則
,,,,，則

設(shè)面的一個法向量為，則
取，則，面的一個法向量為
所以，面．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）如圖以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)，則
,,,,,
因為面，是面的一個法向量．
，
設(shè)面的一個法向量為，則
取，則，面的一個法向量為

所以二面角的平面角的余弦值為．．．．．．．．．．．．．．．13分
點評：判斷線面平行的常用方法：①應(yīng)用線面平行的判斷定理，即由線線平行推線面平行；②應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理，即由面面平行證明線面平行；③向量法。