(12分)已知函數(shù),曲線過點P(-1,2),且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直。
①求a,b的值;
②求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
③若函數(shù)在上是增函數(shù),求m的取值范圍.
解:① a=1,b=3②函數(shù)的遞增區(qū)間是(-∞,-2)和(0,+∞),遞減區(qū)間是(-2,0),
極大值是f(-2)=4,極小值是f(0)=0.③ m≤-3,或m≥0.
解析試題分析:(1)將M的坐標代入f(x)的解析式,得到關于a,b的一個等式;求出導函數(shù),求出f′(1)即切線的斜率,利用垂直的兩直線的斜率之積為-1,列出關于a,b的另一個等式,解方程組,求出a,b的值.
(2)求出 f′(x),令f′(x)>0,求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
(3)在上一問的基礎上,據(jù)題意知[m,m+1]⊆(-∝,-2]∪[0,+∝),列出端點的大小,求出m的范圍.
解:① 因為,所以,
根據(jù)題意得 -a+b=2 ,得 a=1,b=3
3a-2b=-3
② ,
當>0時,解得 x<-2,或x>0;
當<0時,解得 -2<x<0.
因此,該函數(shù)的遞增區(qū)間是(-∞,-2)和(0,+∞),遞減區(qū)間是(-2,0),
極大值是f(-2)=4,極小值是f(0)=0.
③ 根據(jù)題意m+1≤-2,或m≥0,解得m≤-3,或m≥0.
考點:本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
點評:解決該試題注意函數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線斜率;直線垂直的充要條件是斜率之積為-1。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)=(為自然對數(shù)的底數(shù)),,記.
(1)為的導函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)=0有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分16分)
已知函數(shù).
(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點,求實數(shù)a的值.
(2)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上的最小值為3,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)的圖象過點,且在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知函數(shù)=,.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(2)是否存在實數(shù),對任意給定的,在區(qū)間上都存在兩個不同的,使得成立.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(3)給出如下定義:對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點,如果對于函數(shù)圖象上的點(其中總能使得成立,則稱函數(shù)具備性質“”,試判斷函數(shù)是不是具備性質“”,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù) (R).
(1) 若,求函數(shù)的極值;
(2)是否存在實數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由。
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