Question

【題目】已知數(shù)列 的首項(xiàng) ，前n項(xiàng)和為 ，且 .
（1）證明數(shù)列 是等比數(shù)列；
（2）令 ，求函數(shù) 在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù) ，并比較 與 的大小.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知 ，

∴ 時(shí)， ，

①②兩式相減，得

，

即 ，

從而 .

當(dāng)n＝1 時(shí)， ，

∴ .

又 ，故 ，

從而 .

故總有 .

又∵ ，∴ ，從而 ，

即 是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

（2）證明：由(1)可知 .

∵ ，

∴ .

從而

.

則

. (*)

當(dāng)n＝1時(shí)，(*)式＝0，

∴ ；

當(dāng)n＝2 時(shí)，(*)式＝－12＜0，

∴ ；

當(dāng) 時(shí)， ，

又 ，

∴ ，

即(*)式＞0，從而 .

【解析】本題主要考查了比較法證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)在比較大小時(shí)，作差法的差式與“n”的取值有關(guān)，且大小關(guān)系隨“n”的變化而變化. 此類比較大小的題是典型的結(jié)論不唯一的題.在數(shù)列中，大小問(wèn)題可能會(huì)隨“n”變化而變化.往往n＝1，2，…，前幾個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的值與后面 的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時(shí)，要時(shí)刻有“大小關(guān)系不一定唯一”的念頭，即時(shí)刻提醒自己所求解的問(wèn)題是否需要討論.