Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是 ，D是AC的中點(diǎn)．

（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大��；
（3）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1中點(diǎn)，

∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B1C．

又∵PD平面A1BD，B1C平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD．

（2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．

∵AA1= ，AD= AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是 ．

（3）解：由（2）作AM⊥A1D，M為垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角．

∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，

∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．

∴sin∠APM=

∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理不難得出PD∥B1C，則B1C∥平面A1BD，（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可得出AA1⊥底面ABC，又因?yàn)锽D⊥AC，由三垂線定理可得出∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角，在三角形A1DA中進(jìn)行求解即可，（3）由（2）作AM⊥A1D，M為垂足，不難證出∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，在三角形APM進(jìn)行求解即可、

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．