Question

【題目】定圓M： =16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F 且與圓M相切，記圓心N的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B，C在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|AC|=|CB|，當(dāng)△ABC的面積最小時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn) 在圓 內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，因?yàn)閨NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，且 ，所以b=1，所以軌跡E的方程為 ．
（Ⅱ）（i）當(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)（或左右頂點(diǎn)），

此、時(shí) |AB|=2．

（ii）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為k，直線AB的方程為y=kx，

聯(lián)立方程 得 ，

所以|OA|2= ．

由|AC|=|CB|知，△ABC為等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AB，所以直線OC的方程為 ，

由 解得 ， = ， ，

S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|= ，

由于 ，所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC面積的最小值是 ，

因?yàn)? ，所以△ABC面積的最小值為 ，此時(shí)直線AB的方程為y=x或y=﹣x．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)的幾何意義|NM|+|NF|=4＞|FM|，可得點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，由已知可求出方程。
（Ⅱ）分情況討論（i）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)，即可求出面積。
（ii）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為k，直線AB的方程為y=kx， ，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出|OA|2的關(guān)于k的代數(shù)式，由已知可得OC⊥AB，可設(shè)直線OC的方程為 y = x ,聯(lián)立直線與橢圓的方程可得到 | O C |2的關(guān)于k的代數(shù)式，再根據(jù)三角形的面積公式S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|利用基本不等式可得出最小值，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，故得直線AB的方程為y=x或y=﹣x．