Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，且n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），現(xiàn)給出下列4個(gè)結(jié)論：
①數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
②數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列；
③存在n∈N^*，使得（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）＞2016；
④存在n∈N^*，使得（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＞2016；
其中正確的結(jié)論的序號(hào)是②③（請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①②：由n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），變形為（n+1）a_n+1-na_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2-$\frac{3}{n}$，即可判斷出正誤．
對(duì)于③：（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）=3$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$，由于n→+∞時(shí)，1+$\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$→+∞，即可判斷出正誤；
對(duì)于④：（2-a_n）²=$\frac{9}{{n}^{2}}$＜$\frac{9}{n（n-1）}$=9$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，（n≥2）時(shí)，利用“裂項(xiàng)求和”即可判斷出正誤．

解答 解：對(duì)于①②：∵n（a_n+1-a_n）=2-a_n+1（n∈N^*），
∴（n+1）a_n+1-na_n=2，
∴數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公差為2．
∴na_n=-1+2（n-1）=2n-3，
解得a_n=2-$\frac{3}{n}$，
∴數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
因此①不正確，②正確．
對(duì)于③：（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）=2n-$（2n-\frac{3}{1}-\frac{3}{2}-…-\frac{3}{n}）$=3$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）$，
由于n→+∞時(shí)，1+$\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$→+∞，因此存在n∈N^*，使得（2-a₁）+（2-a₂）+…+（2-a_n）＞2016，正確．
對(duì)于④：（2-a_n）²=$\frac{9}{{n}^{2}}$＜$\frac{9}{n（n-1）}$=9$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，（n≥2）時(shí)，
∴n≥2時(shí)，（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＜9+9$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=9+9$（1-\frac{1}{n}）$＜18，
因此不存在n∈N^*，使得（2-a₁）²+（2-a₂）²+…+（2-a_n）²＞2016．
綜上可得：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)、“放縮法”、數(shù)列的單調(diào)性、“調(diào)和級(jí)數(shù)”的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．