Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，x＞0時f（x）=x﹣ ，求x＜0時f（x）的表達(dá)式，判斷f（x）在（﹣∞，0）上的單調(diào)性，并用定義給出證明．

Answer 1

【答案】解：∵函數(shù)f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
x＞0時f（x）=x﹣ ，
∴x＜0時，f（x）=（﹣x）﹣ =﹣x+ ，
f（x）在（﹣∞，0）上的單調(diào)遞減，證明如下：
在（﹣∞，0）上任取x1 ， x2 ， 令x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）=（x2﹣x1）+ =（x2﹣x1）（1﹣ ），
∵x1 ， x2∈（﹣∞，0），x1＜x2 ，
∴f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1﹣ ）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的單調(diào)遞減
【解析】由已知得x＜0時，f（x）=（﹣x）﹣ =﹣x+ ，f（x）在（﹣∞，0）上的單調(diào)遞減，利用定義法能進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．