Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，

∵f（x）= ﹣ = ，

則f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

（2）證明：∵y=2x+1是增函數(shù)，

∴y=﹣ 是增函數(shù)，f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)

（3）解：∵f（x）= ﹣ 在（﹣∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，

∴函數(shù)f（x）在[1，2]上也是增函數(shù)，

即f（1）≤f（x）≤f（2），

即 ≤f（x）≤ ，

即此時函數(shù)的值域為[ ， ]

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可證明函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；（3）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．