【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣1+ ,(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒(méi)有公共點(diǎn),求k的最大值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=x﹣1+ ,

∴f′(x)=1﹣ = ,由f′(x)=0得x=lna

∴當(dāng)x∈(﹣∞,lna)時(shí),f′(x)<0,∴(﹣∞,lna)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0,∴(lna,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間


(2)解:當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)=x﹣1+ 沒(méi)有公共點(diǎn),則x﹣1+ =kx﹣1無(wú)解,

∵x=0時(shí),上述方程不成立,∴x≠0

則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ,

設(shè)g(x)=1+ ,∴g′(x)=

∴g′(x)滿足:在(﹣∞,﹣1)上g′(x)>0,在(﹣1,0)上g′(x)<0,在(0,+∞)上g′(x)<0,

∴g(x)滿足:在(﹣∞,﹣1)上遞增,在(﹣1,0)上遞減,在(0,+∞)上遞減,

g(﹣1)=1﹣e,而當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→1,

∴g(x)的圖象:

∴g(x)∈(﹣∞,1﹣e]∪(1,+∞)

無(wú)解時(shí),k∈(1﹣e,1],

∴kmax=1


【解析】(1)先求導(dǎo),f′(x)=1﹣ = ,由f′(x)=0得x=lna,分x∈(﹣∞,lna)與(﹣∞,lna)兩種情況寫出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)=x﹣1+ 沒(méi)有公共點(diǎn),則x﹣1+ =kx﹣1無(wú)解,則x﹣1+ =kx﹣1可化為k=1+ ,
設(shè)g(x)=1+ ,求導(dǎo),研究此函數(shù)的單調(diào)性即可解決.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最值及其幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担灰话愕,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)的圖像在處的切線垂直于直線,求實(shí)數(shù)的值及直線的方程;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= +a是奇函數(shù)
(1)求常數(shù)a的值
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并給出證明
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬訂的價(jià)格進(jìn)行試銷得到如下數(shù)據(jù):

單價(jià)x(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量y(件)

92

82

83

80

75

68


(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程 .其中 =250
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(I)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元每件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查120人,其中女性70人、男性50人,女性中有40人主要的休閑方式是看電視,另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有20人主要的休閑方式是看電視,另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表;
(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下,認(rèn)為休閑方式與性別是否有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表

p(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2= ,n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)y=f(x)滿足f(x﹣1)=2x+3a,且f(a)=7.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上最大值為2,求實(shí)數(shù)λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;

(Ⅲ)求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某次水下科研考察活動(dòng)中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),潛水員下潛的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個(gè)單位時(shí)間,每單位時(shí)間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時(shí)間),每單位時(shí)間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動(dòng)中的總用氧量為(升).

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若 ,求當(dāng)下潛速度取什么值時(shí),總用氧量最少.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái)),其總成本為G(x)(萬(wàn)元),其中固定成本為2.8萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足 ,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:
(1)寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤(rùn)=銷售收入﹣總成本);
(2)要使工廠有盈利,求產(chǎn)量x的范圍;
(3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?

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