Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的值及直線(xiàn)的方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)得，進(jìn)而得切線(xiàn)方程；

（2）函數(shù)求導(dǎo)，討論， 兩種情況；

（3）令，由單調(diào)性，求最值即可證得.

試題解析：

（1） ，定義域?yàn)?/span>，

函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)的斜率

切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)， ，

， ， 切點(diǎn)為

切線(xiàn)的方程為，即。

（2）由（1）知： ，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，

若，則；若，則

此時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

綜上所述：

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 。

（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減

時(shí)，

時(shí)， ，即。